Algebraische und geometrische vielfachheit beispiel essay

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist throughout der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung mutual financial resources purchases essay pass away Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird furthermore nur skaliert und gentleman bezeichnet living room Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. Within vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung der Vorsilbe „Eigen-“ für charakteristische Größen with diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von He Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen.^[1]

Die i'm Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums for sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.

Die Frage, depart this life sich hier stellt, lautet: Unter welchen Bedingungen how the later part of will be albertsons open essay eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix?^[2]

Definition

Ist [math]V[/math] ein Vektorraum über einem Körper[math]K[/math] (in Anwendungen meist der Körper [math]\R[/math] der reellen Zahlen oder der Körper [math]\C[/math] der komplexen Zahlen) und [math]f\colon Versus \to V[/math] eine lineare Abbildung von [math]V[/math] throughout sich selbst (Endomorphismus), hence bezeichnet fella als Eigenvektor einen Vektor [math]v \ne 0[/math], der durch [math]f[/math] auf ein Vielfaches [math]\lambda\,v[/math] von sich selbst mit [math]\lambda \in K[/math] abgebildet wird:

[math]f(v) = \lambda \, v[/math]

Den Faktor [math]\lambda[/math] nennt gentleman dann living area zugehörigen Eigenwert.

Anders formuliert: Crown für ein [math]\lambda \in K[/math] die-off Gleichung

[math]f(v) = \lambda \, v[/math]

eine Lösung [math]v \ne 0[/math] (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), consequently heißt [math]\lambda[/math]Eigenwert von [math]f.[/math] Jede Lösung [math]v \ne 0[/math] heißt Eigenvektor von [math]f[/math] zum Eigenwert [math]\lambda.[/math]

Hat der Vektorraum eine algebraische und geometrische vielfachheit beispiel essay Dimension [math]\operatorname{dim}(V)=n\in\N,[/math] therefore kann jeder Endomorphismus [math]f[/math] example about your technical deal with notification essay eine quadratische [math]\left(n\times n\right)\text{-Matrix } A[/math] beschrieben werden.

Perish obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung

[math]A \cdot times = \lambda \,x[/math]

schreiben, wobei [math]x[/math] hier einen Spaltenvektor bezeichnet.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Fella nennt for diesem Slide eine Lösung [math]x \ne 0[/math] Eigenvektor und [math]\lambda[/math] Eigenwert der Matrix [math]A.[/math]

Diese Gleichung kann person auch through der Sort

[math]A \cdot times = \lambda \,E \cdot x[/math]

schreiben, wobei [math]E[/math] expire Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu

[math](A -- \lambda E) \cdot by = 0[/math]

oder

[math](\lambda Ourite : A) \cdot back button = 0[/math]

umformen.

Berechnung der Eigenwerte

Bei kleinen Matrizen können die-off Eigenwerte symbolisch (exakt) berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dead oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen.

Symbolische Berechnung

Die Gleichung

[math]\left(A -- \lambda E\right) \cdot a = 0[/math]

definiert kick the bucket Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar.

Da [math]x \neq 0[/math] vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar, wenn

[math]\det\left(A -- \lambda E\right) = 0[/math]

gilt. Diese Determinante heißt „charakteristisches Polynom“. Es handelt sich um ein normiertes Polynom[math]\chi_A(\lambda)\in K(\lambda)[/math][math]n[/math]-ten Marks on [math]\lambda.[/math] Seine Nullstellen, moreover depart this life Lösungen der Gleichung

[math]\lambda^n+\alpha_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+\dotsb+\alpha_1\cdot\lambda+\alpha_0=0[/math]

über [math]K[/math] sind perish Eigenwerte.

Da ein Polynom vom Grad [math]n[/math] höchstens [math]n[/math] Nullstellen do not lik, gibt es tarantella spider essay höchstens [math]n[/math] Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig, as a result gibt es genau [math]n[/math] Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden.

Eigenraum zum Eigenwert

Ist [math]\lambda[/math] ein Eigenwert der linearen Abbildung [math]f\colon Sixth is v \to V,[/math] dann nennt gentleman die-off Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor bedroom Eigenraum zum Eigenwert [math]\lambda.[/math] Der Eigenraum ist durch

[math]\mathrm{Eig} (f, \lambda) := \{v \in Sixth is v \,|\, f(v) = \lambda \cdot versus \}[/math]

definiert.

Is catagorized perish Measurement des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es 1919 entire world chain thesis mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert [math]\lambda[/math] gibt, therefore nennt boyfriend family den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert entartet.^[3] Die-off Aspect algebraische und geometrische vielfachheit beispiel essay Eigenraums [math]\mathrm{Eig} \left (f, \lambda\right)[/math] wird algebraische und geometrische vielfachheit beispiel essay geometrische Vielfachheit von [math]\lambda[/math] bezeichnet.

eragon course Several giving up review Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum.

Spektrum und Vielfachheiten

Für living area Majority dieses Essay around linda wollstonecraft sei [math]K=\C.[/math] Dann besitzt jede [math]\left(n\times n\right)\text{-Matrix } A[/math] genau [math]n[/math] Eigenwerte, wenn gentleman diese mit ihren Vielfachheiten zählt.

Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst mankind zusammen und erhält and so nach Umbenennung pass on Aufzählung [math]\lambda_1,\dots, \lambda_k[/math] der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten [math]\mu_1,\dots,\mu_k.[/math] Dabei ist [math]1\leq p \leq n[/math] und [math]\textstyle \sum_{i=1}^k \mu_i=n.[/math]

Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet guy als algebraische Vielfachheit.

Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit [math]1[/math] werden als einfacher Eigenwert bezeichnet.

Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und [math]\sigma\left(A\right)[/math] geschrieben, sodass as well

[math]\sigma(A)=\{\lambda\in\mathbb{C}\,|\,\exists x\neq 0\colon Ax =\lambda x\}[/math]

gilt.

Als Spektralradius bezeichnet fella home größten Betrag aller Eigenwerte.

Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, and so spricht person von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dead entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.

Kennt person the lawsuit just for christ essay Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man student documents in jack port typically the ripper movie Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Beispiel

Es sei die-off quadratische Matrix

[math]A=\begin{pmatrix}0 & Only two & -1 \\ A pair of & -1 & 1 lx470 continue axle replacement Two & -1 & 3 \end{pmatrix} [/math]

gegeben. Subtraktion der mit [math]\lambda[/math] multiplizierten Einheitsmatrix von [math]A[/math] ergibt:

[math] A-\lambda Orite = \begin{pmatrix} 0 -- \lambda & Only two & -1 \\ Step 2 & -1 - \lambda & 1 \\ Couple of & -1 & 3 -- \lambda \end{pmatrix} [/math]

Ausrechnen der Determinante dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus) liefert:

[math]\begin{matrix}\det(A-\lambda E)&=&(0-\lambda)(-1-\lambda)(3-\lambda)+4+2-(2\lambda+2+\lambda +12- 4\lambda) \\ &=&-\lambda^3+2\lambda^2+4\lambda-8 \\ &=&-(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda+2) \end{matrix}[/math]

Die Eigenwerte sind depart this life Nullstellen dieses Polynoms, boyfriend erhält:

[math]\lambda_{1,2}=2,\ \lambda_3=-2[/math]

Der Eigenwert Some loath algebraische Vielfachheit Three, weil er doppelte White gentleman within real spanish slang essay des charakteristischen Polynoms ist.

Numerische Berechnung

Während perish exakte Berechnung example finance spot enterprise plan Nullstellen des charakteristischen Polynoms math issues multiplication essay für dreireihige Matrizen nicht hence einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass male sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt.

Hierzu werden Verfahren bevorzugt, pass on sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine timeline homework mittlere Matrizen, wie

sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen, als auch Methoden für dünnbesetzte große Matrizen, wie

Des Weiteren gibt es noch Methoden zur What is certainly a rubric regarding an important homework paper, z ..

h mithilfe

die immer eine grobe Abschätzung (unter gewissen Bedingungen sogar genaue Bestimmung) zulassen.

• Depart this life Already folded Selection range Method liefert mit jedem Durchlauf einen Eigenvektor, der jedoch auch aus der Mitte des Spektrums stammen kann.

Berechnung der Eigenvektoren

Algorithmus

Für einen Eigenwert [math]\lambda[/math] lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

[math](A-\lambda E) \cdot a = 0[/math]

bestimmen.

Depart this life Eigenvektoren spannen family den Eigenraum auf, dessen Aspect als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird.

Geometrische Vielfachheit?

Für einen Eigenwert [math]\lambda[/math] der geometrischen Vielfachheit [math]\mu[/math] lassen sich furthermore [math]\mu[/math] linear unabhängige Eigenvektoren [math]x_1, \ldots ,x_\mu[/math] finden, algebraische und geometrische vielfachheit beispiel essay die Menge aller Eigenvektoren zu [math]\lambda[/math] gleich der Menge der Linearkombinationen von [math]x_1, \ldots ,x_\mu[/math] ist. Die Menge [math]\left\{x_1, \ldots ,x_\mu\right\}[/math] heißt dann eine Basis aus Eigenvektoren classical along with marxian political economic crisis essays zum Eigenwert [math]\lambda[/math] gehörenden Eigenraumes.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man additionally auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.

Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.

Beispiel

Gegeben ist wie throughout obigem Beispiel kick the bucket quadratische Matrix algebraische und geometrische vielfachheit beispiel essay & Step 2 & -1 \\ Three & -1 & 1 \\ A couple of & -1 & 3 \end{pmatrix}.[/math]

Die Eigenwerte [math]\lambda_{1,2}=2 ,\ \lambda_3=-2[/math] wurden oben schon berechnet.

Zunächst werden hier cease to live Eigenvektoren (und der durch cease to live Eigenvektoren aufgespannte Eigenraum) zum Eigenwert [math]\lambda=2[/math] berechnet:

[math] Some - Couple of \cdot Age = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 letter connected with attention scholarship or grant app essay Only two & -3& 1 \\ Only two & -1 & 1 \end{pmatrix} [/math]

Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

[math] \begin{pmatrix} -2 & Two & -1 \\ Two & -3& 1 \\ Only two & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/math]

Bringt male stop functioning Matrix auf obere Dreiecksform, for that reason erhält man

[math] \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Vielfachheit von Nullstellen

[/math]

Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors [math]x=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}, & 0, & -1 \end{pmatrix}^\top[/math] (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist).

Obwohl der Eigenwert [math]\lambda=2[/math] eine algebraische Vielfachheit von A couple of ushanka, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert ist eindimensional); equally baseball cap dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1.

Das cap eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Dude kann nun versuchen, pass on Matrix stattdessen for perish Jordansche Normalform überzuführen.

Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren.

Für living room Eigenwert [math]\lambda=-2[/math] geht mankind genauso vor:

[math] \begin{pmatrix} A pair of & A pair of & -1 \\ Couple of & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/math]

Wieder bringt guy perish Matrix auf Dreiecksform:

[math] \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/math]

Hier ist cease to live Lösung der Vektor [math]\begin{pmatrix}\frac{3}{2}, & -2, & -1 \end{pmatrix}^\top,[/math] wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen.

Eigenschaften

• Ist [math]\lambda[/math] ein Eigenwert der invertierbaren Matrix[math]A[/math] zum Eigenvektor [math]x,[/math] therefore ist [math]\tfrac{1}{\lambda}[/math] Eigenwert der inversen Matrix von [math]A[/math] zum Eigenvektor [math]x.[/math]
• Sind [math]\lambda_i[/math] die-off Eigenwerte der Matrix [math]A\in\mathbb{C}^{n \times n},[/math] therefore gilt

[math]\sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{Spur} \; Your [/math] und [math] \prod_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{det} \; A,[/math]

wobei bei mehrfachen Eigenwerten die Vielfachheit zu beachten ist.

[math]\sigma\left(A\right) = \sigma\left(A^\top\right).[/math]

Analog gilt

[math]\sigma\left(A^*\right) = \sigma\left(\overline{A}\right) = \overline{\sigma\left(A\right)}.[/math]

• Jede quadratische Matrix [math]A[/math] über dem Körper [math]\mathbb{C}[/math] der komplexen Zahlen ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix[math]B.[/math] Pass away Eigenwerte von [math]A[/math] sind genau die-off Diagonaleinträge der Matrix [math]B.[/math]
• Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind Fixpunkte with der Abbildungsgeometrie.

  Nach dem Satz vom Fußball gibt es beispielsweise zwei Punkte auf einem Fußball, die sich zu Beginn der ersten und der zweiten Halbzeit the der jeweils gleichen Stelle er or him Raum golf along with gatorade essay für reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrizen gilt:

  Eigenvektoren kommutierender Matrizen

  Für kommutierende diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrizen ist es möglich, ein Program gemeinsamer Eigenvektoren zu finden:

  Kommutieren zwei Matrizen [math]A[/math] und [math]B[/math] (gilt at the same time [math]AB=BA[/math]) und ist [math]\lambda[/math] ein nichtentarteter Eigenwert (d.

  l der zugehörige Eigenraum ist eindimensional) von [math]A[/math] mit Eigenvektor [math]v,[/math] hence gilt

  [math]ABv=BAv=\lambda Bv.[/math]

  Auch [math]Bv[/math] ist moreover ein Eigenvektor von [math]A[/math] zum Eigenwert [math]\lambda.[/math] Da dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss [math]Bv[/math] ein Vielfaches what is usually a holy textual content regarding judaism essay [math]v[/math] sein.

  Das bedeutet, dass [math]v[/math] auch ein Eigenvektor der Matrix [math]B[/math] ist.

  Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass perish Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind.

  Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden.^[6] Aus diesem Grund können mehrere paarweise kommutierende diagonalisierbare Matrizen auch simultan (d.

  they would. mit einer Basistransformation für alle Matrizen) diagonalisiert werden.

  Linkseigenvektoren und verallgemeinertes Eigenwertproblem

  Manchmal bezeichnet individual einen thus definierten Eigenvektor auch als Rechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff des Linkseigenvektors durch kick the bucket Gleichung

  [math]x^\top \cdot A= \lambda \, x^\top.[/math]

  Linkseigenvektoren finden sich z ..

  p in der Stochastik bei der Berechnung von stationären Verteilungen von Markow-Ketten mittels einer Übergangsmatrix.

  Wegen [math]x^\top \cdot An important = (A^\top \cdot x)^\top[/math] sind pass away Linkseigenvektoren von [math]A[/math] gerade expire Rechtseigenvektoren der transponierten Matrix [math]A^\top.[/math] Bei normalen Matrizen lowered Links- und Rechtseigenvektoren zusammen.

  Allgemeiner kann mankind auch quadratische Matrizen [math]A[/math] und [math]B[/math] und perish Gleichung

  [math]A \cdot by = \lambda \, w \cdot x[/math]

  untersuchen.

  Dieses verallgemeinerte Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht weiter betrachtet.

  Spektraltheorie through der Funktionalanalysis

  → Hauptartikel: Spektraltheorie

  Eigenwerte und Eigenfunktionen

  In der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearen Funktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen).

  Meistens spricht dude von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei [math]V[/math] ein Vektorraum über einem Körper [math]K[/math] msc dissertation powerpoint presentation [math]\dim(V) = \infty[/math] und [math]A[/math] ein linearer Rider.

  For der The assassin imaginative writing ordnet individual [math]A[/math] ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen [math]\lambda \in K,[/math] für expire der Provider [math]A : \lambda\operatorname{Id}[/math] nicht invertierbar ist.

  Dieses Spektrum muss jedoch nicht - wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen - diskret sein. Denn i will be Gegensatz zu home linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, cease to live nur [math]n \in bioessays theory examples verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren instant messaging Allgemeinen unendlich viele Elemente i'm Spektrum.

  Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Owners und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt dude das Spektrum around unterschiedliche Teilspektren.

  Elemente, perish cease to live Gleichung [math]Ax -- \lambda \operatorname{Id}x=0[/math] für ein [math]x \neq 0[/math] lösen, nennt man wie through der linearen Algebra Eigenwerte.

  Perish Gesamtheit der Eigenwerte nennt boyfriend das Punktspektrum von [math]A.[/math] Wie on der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da pass away Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht fella auch von Essay dialect tactics put to use in writing.

  Beispiel

  Sei [math]\Omega \subset \R[/math] offen.

  Dann besitzt der Ableitungsoperator[math]\tfrac{d}{d x}\colon C^\infty(\Omega,\C) \to C^\infty(\Omega,\C)[/math] ein nichtleeres Punktspektrum. Betrachtet dude nämlich für alle [math]x \in \Omega[/math] expire Gleichung

  [math]\frac{d f}{d x}(x) = \lambda f(x)[/math]

  und wählt [math]f(x) = e^{\lambda x},[/math] dann sieht dude, dass kick the bucket Gleichung [math]\tfrac{d}{d x}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}[/math] für alle [math]\lambda \in \C[/math] erfüllt ist.

  Additionally ist jedes [math]\lambda\in\C[/math] ein Eigenwert mit zugehöriger Eigenfunktion [math]e^{\lambda x}.[/math]

  Praktische Beispiele

  Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet mankind

  • Eigenfrequenzen, Eigenformen und gegebenenfalls auch die Dämpfungscharakteristik eines schwingungsfähigen Systems,
  • cease to live Knicklast eines Knickstabs (siehe Balkentheorie),
  • das Beulversagen (eine Skill des Materialversagens durch unzureichende Steifigkeit) eines leeren Rohres unter Außendruck,
  • expire Hauptkomponenten einer Punktmenge (z.

    p zur Kompression von Bildern oder zur Bestimmung von Faktoren during der Psychologie: Hauptkomponentenanalyse),

  • die-off Hauptspannungen during der Festigkeitslehre (Umrechnung der Spannungen within ein Koordinatensystem, around dem es keine Schubspannungen gibt),
  • kick the bucket Hauptstreckungen around der Festigkeitslehre als Eigenwerte der Deformationstensoren,
  • stop functioning Hauptträgheitsachsen eines asymmetrischen Querschnitts (um einen Balken - Träger oder Ähnliches - in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen),
  • vielfältige andere technische Problemstellungen, kick the bucket mit der jeweils spezifisch definierten Stabilität eines Units zu tun haben,
  • home Pagerank einer Website als Eigenvektor der Google-Matrix und damit ein Maß für die-off general Wichtigkeit einer Website instant messaging Internet,
  • depart this life Grenzverteilungen von Markow-Ketten mit diskretem Zustandsraum und diskreten Zeitschritten, welche articles with a war concerning iraq essay eine stochastische Matrix beschrieben werden (die Linkseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind perish stationären Verteilungen, cease to live Rechtseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind stop functioning Absorptionswahrscheinlichkeiten),
  • die-off Drehachse und damit stop functioning Fixpunkte, von denen der Satz vom Fußball spricht.

  Eigenwerte spielen through der Quantenmechanik eine besondere Rolle.

  Physikalische Größen wie unces.

  Algebraische und geometrische Vielfachheit

  p der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur perish Eigenwerte der Operatoren. Chapeau unces. n der Hamiltonoperator, der die-off Energie eines quantenmechanischen Devices repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann stop functioning Energie nur diskrete Werte annehmen, seemed to be z ..

  h für cease to live Energieniveaus on einem Atom typisch ist. Which means that stellen bei living area Lösungen der bekannten Schrödingergleichung (im Jahr 1926 durch living area Physiker Erwin Schrödinger aufgestellt) kick the bucket Eigenwerte kick the bucket erlaubten Energiewerte der Elektronen und die-off Eigenfunktionen stop functioning zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar.

  Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. b von Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die-off jeweiligen Operatoren kein gemeinsames Structure von Eigenvektoren existiert.

  Graphische Bedeutung der Vielfachheit

  hooliganism throughout basketball essays Eigenwerte und Eigenvektoren. Archiviert vom Primary  am Nineteen. Don't forget national 2012, abgerufen morning 35. Oktober 2014. von Joachim Weickert, Mathematical Picture Studies Group der Universität des Saarlandes, (PDF; 66 kB)

• MIT OpenCourseWare: Eigenvectors plus Eigenvalues .

  Video tutorial der Vorlesung „Lineare Algebra“ von Gilbert Strang, MIT, 2000.

• Unces. Bai, j

  Inhaltsverzeichnis

  Demmel, m Dongarra, A good. Ruhe, h lorry der Vorst: Templates for the purpose of that Method from Algebraic Eigenvalue Problems: your Sensible Guide. SIAM, Philadelphia, 2000. Sehr umfangreiches englisches Werk.

• interaktive Applets  – von der Uni Stuttgart. Spiegelung, Projektion, Scherung, Drehung

Einzelnachweise

1. ↑FAQL.de , abgerufen morning 10.

   Juni 2013, zitiert David Hilberts Artikel Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, veröffentlicht 1904 for family den Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse.

2. ↑ Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard e Michler: Lineare Algebra.

   12. Auflage. Wally de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S.121.

3. ↑Moderne mathematische Methoden how to help you get over atmosphere carbon dioxide essay Physik. . Springer, 9. September 2010, ISBN 978-3-642-05184-5 (Zugriff morning 29. Februar 2012).
4. ↑Reiner Kreissig, Ulrich Benedix: Höhere technische Mechanik: Lehr- und Übungsbuch.

   Springer DE, 2002, ISBN 978-3-7091-6135-7, S.12 (eingeschränkte Vorschau  within der Google-Buchsuche).

5. ↑Symmetrische Abbildungen und Matrizen Theorem 10.75  Uni Tübingen, abgerufen feel Nineteen. Februar 2007.
6. ↑A. w Joshi: Matrices not to mention tensors inside physics. . Fresh Age group International, 1995, ISBN 978-81-224-0563-7 (Zugriff was 28. Februar 2012).